决策论和风险分析

我们都一定在追求最有用的知识。“有用”一定意味着“帮助实现我们的目标”。如果我们要选择一个最影响我们能控制的我们成功的因素，这个因素一定是我们的决定，对吧？我们的决定的好不好一定是最影响我们的生活的事。我这样思考着，最近看了一本很简单的书关于决策论，叫”The Ri9ht Decision“的书。这本书非常非技术的，可以用三个句子总结所有的真有用的内容。但是，这本书提醒我一些我过去知道的知识关于最优决定，风险分析，等等。我会先写关于这本书里知道的一些重要的（有用的）概念，然后写关于类似的风险分析的概念。

关于决策论

首先这本书介绍支付向量的概念。这个概念非常简单。我们先要选择我们希望最优化的得分（选择得分跟自己的目标：如果我们的目标是做个聚会的话，可能的得分是“人数”，如果我们的目标是快乐的话，得分可能是“做喜欢的活动的小时数”）。然后看看所有的可选择的行为（行为种类的菜单），对每个行为给相对应对的“得分”。这样的“得分的向量”被称为“支付向量” $P = (p_1, p_2,..., p_n)$。如果我们有只一个得分种类，我们从支付向量选择最高的值的行为种类，就做做了最优的决定。（这么简单！）

我觉得上一句的命题很好，因为它让我们明白决策论是多么简单吗。其实，如果我们有包括所有的重要的元素（表达我们目标，包括我们希望）的那么抽象的“得分”（评分系统），我们就不要看以后的书的内容，解决是 $i: p_i = \mathrm{max} (P)$.

作者介绍了可能性对每个行为（action）有更多支付向量。其实，如果我们想想我们有复杂的目标（希望满足的条件的集合$G$），看着目标我们可以选择合适$G$的支付向量的子集。

然后作者介绍了Minimax算法和Maximax算法，然后给它的解释：这两的标准意味着我们应该避免最大的损失的行为，追求最大的支付的行为。（顺便，这些概念，虽然被用$\mathrm{min}$和$\mathrm{max}$，但是，比如在真正的空间，当然用风险函数的$\mathrm{inf}$和$\mathrm{sup}$被下定义的。

终于作者介绍"贝叶斯标准"。贝叶斯标准意味着“为了知道最可能的，长的时间的得平均分值，计算加权平均数（权值为相对应概率）。当然，像我们知道，这个加权平均数被成为期望值 $\mathbb{E}[X] = x_1 p_1 + \cdots + x_n p_n$。虽然这个是非常简单的标准，但是实际上它意味着很有用的事。比如，越大 $n$，越大期望值，比如，如果希望找到工作，越大发给的邮件数，越大概率找到工作。也是，当然每个$p_i$依靠每个邮件里的文章的质量式项。也是，当然每个$x_i$依靠希望工作的公司（组织）的质量。这个标准当然意味着我们要选择有最高的期望值的$x_1, \cdots, x_n$组合。

在这个地方我就想起来了我在学士的时候学的贝叶斯最优分类器（它用贝叶斯定理最小错误概率）。也是，必将想起来我的学士的时候对我们概率论的老师说的事”如果你们要找到统计学家的工作，而在面试的时候他们问你不知道怎么回答的问题，正确的回答是『我要计算期望值』”。也是，必将想起来同一个老师对我们说“一个人问柯尔莫哥洛夫『您觉得您的生活上您有最大的贡献是什么呢？』他不是回答了『我介绍概率论公理』，他回答『我介绍条件期望值』的。在读学士的时候我不太了解为什么，但是我现在觉得是因为它在统计决策论最重要。在金融，也在很多其它的领域，在时间序列分析也，我们在选择最优的决定的时候，我们比较被我们的行为组合$\mathrm{Y}$ 被条件的 $\mathbb{E}[X|Y]$ 条件期望值，选择最大（还是最小的）。我们就也可以用贝叶斯分类器。也是，我想起来我们学过的勒贝格-斯蒂尔切斯积分，而明白怎么用它能够计算$\mathbb{E}[X]$和风险。其实，如果$X$是在概率空间$(\Omega, \mathcal{F}, \mathcal{P})$ 中的一个随机变量，那么它的期望值$\mathbb{E}[X]$的定义是：

$$\mathbb{E}[X] = \int_\Omega X\, \mathrm{d}P$$

比如，如果$X$是支付函数（随机变量），$P$是概率测度，那么这个积分等于支付的期望值。我觉得我要介绍一下这个地方，怎么计算这个积分（勒贝格-斯蒂尔切斯积分），以后用中文写。但是临时你们可以看看在这里（是『The Lebesgue-Stieltjes Integral: A Practical Introduction』 的书的6章）怎么计算。只有8个定理，就可以计算。我觉得是很有用。

关于风险分析

为什么危险分析和决策论有关系吗？风险是损失的期望值（这样的定义）。

$$ Risk = {\mathbb E} [Loss] $$

好像贝叶斯最优分类器最小错误概率，风险分析帮我们最小化损失。只要计算我们的行为和目标为条件的条件风险，就可以选择最小化失败的行为。